GENERAL RELATIVITY & COSMOLOGY for Undergraduates By Professor John W. Norbury

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Contents
1 NEWTONIAN COSMOLOGY 5
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Equation of State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Matter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Velocity and Acceleration Equations . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Cosmological Constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Einstein Static Universe . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 APPLICATIONS 13
2.1 Conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Age of the Universe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 In°ation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Quantum Cosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.1 Derivation of the SchrÄodinger equation . . . . . . . . . 16
2.4.2 Wheeler-DeWitt equation . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 TENSORS 23
3.1 Contravariant and Covariant Vectors . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Higher Rank Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Review of Cartesian Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Metric Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.1 Special Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Christo®el Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1
2 CONTENTS
3.6 Christo®el Symbols and Metric Tensor . . . . . . . . . . . . . 36
3.7 Riemann Curvature Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.9 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.10 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.11 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 ENERGY-MOMENTUM TENSOR 45
4.1 Euler-Lagrange and Hamilton's Equations . . . . . . . . . . . 45
4.2 Classical Field Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.1 Classical Klein-Gordon Field . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Principle of Least Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4 Energy-Momentum Tensor for Perfect Fluid . . . . . . . . . . 49
4.5 Continuity Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.6 Interacting Scalar Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.7 Cosmology with the Scalar Field . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.7.1 Alternative derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.7.2 Limiting solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.7.3 Exactly Solvable Model of In°ation . . . . . . . . . . . 59
4.7.4 Variable Cosmological Constant . . . . . . . . . . . . . 61
4.7.5 Cosmological constant and Scalar Fields . . . . . . . . 63
4.7.6 Clari¯cation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.7.7 Generic In°ation and Slow-Roll Approximation . . . . 65
4.7.8 Chaotic In°ation in Slow-Roll Approximation . . . . . 67
4.7.9 Density Fluctuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.7.10 Equation of State for Variable Cosmological Constant 73
4.7.11 Quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 EINSTEIN FIELD EQUATIONS 83
5.1 Preview of Riemannian Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.1.1 Polar Coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.1.2 Volumes and Change of Coordinates . . . . . . . . . . 85
5.1.3 Di®erential Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.1.4 1-dimesional Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.5 2-dimensional Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.6 3-dimensional Hypersurface . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2 Friedmann-Robertson-Walker Metric . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2.1 Christo®el Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
CONTENTS 3
5.2.2 Ricci Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2.3 Riemann Scalar and Einstein Tensor . . . . . . . . . . 103
5.2.4 Energy-Momentum Tensor . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.5 Friedmann Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6 Einstein Field Equations 107
7 Weak Field Limit 109
8 Lagrangian Methods 111